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多普勒效应公式解释(多普勒效应计算公式例题分析)

人生杂谈

你或许已经注意到,当汽车带着喇叭声从你身边驶过时,你听到喇叭的声音似乎在接近你时音调变高,离你而去时音调变低。这个现象首先是由十九世纪的澳地利科学家克里斯蒂安多普勒描述的,叫做多普勒效应(Doppler effect)。当发声的物体(以下简称声源)和听到声音的人(以下简称听者)彼此做相对运动时,听者听到的声音的频率和声源的频率是不同的。类似的效应也发生在光和无线电波上

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图一 多普勒效应示意图

分析声音的多普勒效应,我们应求出声源和听者相对于声波传播的介质(通常为空气)的频移与速度之间的关系。为了简单起见,我们只考虑特殊情况,就是声源和听者都在同一条直线上。设def916db1615431fa071f2da97208c4bfc3a5f6ee0fa4641b868b2725b7fa903分别是声源和听者沿着这条直线相对于介质的速度分量。对于速度ae275f0a22034ae78534cf611211c04c,我们选择从听者L到声源S的方向为正方向。声波相对于介质的速度d0b91718ce9a42fb9d2272ceecae8be4总是正的。

听者移动,声源静止

首先设想听者L以速度907860520dd94e2fb522285ff32a65bc向着静止的声源S(图二)移动。声源发射声波的频率为47eca91e7d554b93a41e11eb6ec2d3c4,波长671f980733a944e88f42929ccee922c1。该图显示有4个波峰,由相等的距离d2e8e5fa4d934ed68d4230303b424be5分开。接近移动中的听者的波峰相对于听者的传播速度是(9d9e16026f044a6e8ea2ea959f9db299)。所以波峰到达听者的位置时声波的频率是

05bb925b146c438ca91efc9c5b5518a2 (1) 或

605770dac09b4981aa90532c027c569c (听者在运动中,声源是静止的) (2)

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图二 听者移动、声源静止时的多普勒相应

当听者向着静止的声源移动时(21d32ea1b7e44e03b8b7f784dca9f44d),听到的声音的频率是他在静止时听到的声音频率的6589f45623fc4a309a516f7f6e9a4979倍(高音调)。当听者背离静止的声源移动时(5e397e198734472ab2a8a216e408f8e4),听到的声音的频率较低(低音调)。

声源和听者都移动

现在假设声源也是运动的,速度为736a217c03e94213b4b163054436c2c9(图 三)。波速相对于声波传播的介质(空气)仍然是c62ca97e135d44599e9c736ba7e1b9d9;它是由介质的性质所决定的,不会因为声源的运动而改变。但是波长不再等于c91099dee691474ab1772bc43eb1ad14/f385a265d56e456eb1672d94e56c44e1。原因是声波发射一周所需要的时间是周期 T=1/a387366b03d04bf19cd7934dc68f8eb0。在此期间,声波传播的距离是dde86ca50a1541259a0cf7dace11f9d9T=c86157b81cb0439f9e9747ef83cfd93b/d03ce2bdaad549bfa581bd04217ecf57,声源移动的距离是dcc17f76a4d846a5b9387466a3529852T=1376513c5a4340faabb55fa458ce26d1/3a2208850e9f4f22b6dffffb2426fbd2。波长是两个连续波峰之间的距离,并且是由声源和声波的相对位移所确定的。如图三 所示,在声源的前面和在声源的后面波长是不同的。

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图三 声源和听者都移动时的多普勒效应

在图 声源的右边(声源的前面),波长是

5ff3bb54209948b98b7e3fb3a8eedd89 (移动声源前面的波长) (3)

在声源的左边(声源的后面)

a57e43855c6f4c7ba4862f8c77337b4d (移动声源后面的波长) (4)

声源前后的波由于声源的移动分别受到压缩和拉伸。

要求出声源后面的听者听到的声音的频率,我们可以把(4)式代入(1)式得到:

19fcbe08bf4a448391b0a76072081776

5b174982f6824af6b8aa111d850c0f52 (声源和听者都移动的多普勒效应) (5)

公式(5)表达了听者听到的声音频率74ef5a01ab814eba829569e460ca38a3和声源频率c06665131bda4d8d956cec9d24b4a298之间的关系。

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对公式18465bb8ed11437f99a36ec5d9669d56的分析

虽然对于方程式(5)我们是在图三 所示的特殊情况下推导出来的,但是它囊括了声源和听者在同一直线上相对于空气运动时所有可能的多普勒效应。公式中,028e7add9ced48898c32576b6367ba24是声波相对于介质(空气)的速度,是常量;其余4个是变量,规定63d257ed8ba346768b42be16bd062f105d3476a24edb4018afc9af5ec95172e0的方向从左向右为正。

0dbafa6a2e974a4796aea23554f6c10bd2aa6a7509574c31b92cf78886426701,即声源和听者都处在静止状态,或者他们有相同的相对于介质的速度,94ce3fe354024e928e256066b6e10d11,那么3843646b27234829b2b4ec48d840f836,也就是音调没有发生变化,此时没有发生多普勒效应。

7901124fc9a64132becbcbdfb69a7d34 当df87d99e36754e3c985ca13ec8b0b4e9d1eff9db7880485dbcbb5767a291a666,即声源静止不动,听者相对于声源移动。当听者朝着声源移动时,dea162a3ff0b464aaaefd38e9ab88507f954acef8ea247ad8463169c113af784,听者听到的声音频率比声源的频率高;当听者背离声源移动时,5f4983a995b74321afe00c04ac67e522,听者听到的声音频率比声源的频率低。

cddc791ba175431b904f9ce935c3bf13cc1491f681b44361b19d5e4c6bd173ac即听者静止不动,声源相对于听者运动。当声源朝着听者运动时,23928fda78b9477992a98779609d4402,听者听到的声音频率比声源的频率高;当声源背离听者运动时,54329c289110432ba866a2fb767190ec,听者听到的声音频率比声源的频率低。

414f63bf7a504f4694ae9f6a019c35fe720b8bcaecb5473399bcce1e2b3bcb88,即声源和听者都移动。根据图三所示,无论声源的速度还是听者的速度,当它们的方向和听者到声源的方向(已确定为正方向)一致时为正值,反之为负值,代入公式即可求出相应的频率。当听者和声源相向而行时,他听到的音调会变高,反之他听到的音调会变低。

本文根据《西尔斯当代大学物理》英文版编译2022年6月10日

来源:多普勒效应公式解释(多普勒效应计算公式例题分析)

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